Скачать статью в pdf.

УДК 519.87:581.55

DOI: 10.15507/0236-2910.028.201803.321-332

Исследование устойчивости положения равновесия системы динамики биоценоза в условиях межвидового взаимодействия

Шаманаев Павел Анатольевич
доцент кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), кандидат физико-математических наук, доцент, ResearcherID: J-6591-2018, ORCID: http://orcid.org/0000-0002-0135-317X, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Язовцева Ольга Сергеевна
аспирант кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарева» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), ResearcherID: J-6507-2018, ORCID: http://orcid.org/0000-0001-8075-4491, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Введение. В статье рассмотрена задача об устойчивости по части переменных нулевого положения равновесия математической модели, описывающая динамику биоценоза в условиях межвидового взаимодействия типа «хищник-жертва», представляющую собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с возмущениями в виде векторных полиномов. Исследуемая система рассмотрена при условии, что рождаемость биологических видов не превышает смертности.
Материалы и методы. Получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных нулевого положения равновесия системы. Доказательство основано на построении операторного уравнения в банаховом пространстве, связывающего решение исследуемой системы и ee линейного приближения. На основе принципа Шаудера о неподвижной точке доказано существование решения операторного уравнения. Для завершения доказательства показано, что между решениями исследуемой системы и ее линейного приближения существует локальная асимптотическая эквивалентность по Брауеру, причем разности между компонентами решений исследуемой системы и ee линейного приближения стремятся к нулю равномерно по начальным значениям.
Результаты исследования. В качестве примера рассмотрена модель типа «хищник-жертва» в случае, когда два вида питаются третьим. Приведены условия устойчивости и асимптотической устойчивости по части переменных тривиального положения равновесия системы динамики численности двух популяций «хищников» и одной популяции «жертв» при различных коэффициентах рождаемости биологических видов. Построены графики численности популяций при различных значениях разности между рождаемостью и смертностью соответствующих видов.
Обсуждение и заключения. В зависимости от разности между рождаемостью и смертностью биологических видов проведен анализ динамики численности двух популяций «хищников» и одной популяции «жертв» с течением времени.

Ключевые слова: модель «хищник-жертва», устойчивость по части переменных, нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, локальная асимптотическая эквивалентность по Брауэру, принцип Шаудера о неподвижной точке

Для цитирования: Шаманаев П. А., Язовцева О. С. Исследование устойчивости положения равновесия системы динамики биоценоза в условиях межвидового взаимодействия // Вестник Мордовского университета. 2018. Т. 28, № 3. С. 321–332. DOI: https://doi.org/10.15507/0236-2910.028.201803.321-332

Заявленный вклад соавторов: П. А. Шаманаев – формулировка и постановка задачи, доказательство теоремы; О. С. Язовцева – обзор литературы, изложение и анализ результатов исследования.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Поступила 14.05.2018; принята к публикации 29.06.2018; опубликована онлайн 20.09.2018

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Язовцева О. С. Локальная покомпонентная асимптотическая эквивалентность и ее применение к исследованию устойчивости по части переменных [Электронный ресурс] // Огарёв- online. 2017. № 13.

2. Шаманаев П. А., Язовцева О. С. Достаточные условия локальной покомпонентной асимптотической эквивалентности нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и ее приложение к устойчивости по части переменных // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Т. 19, № 1. С. 102–115.

3. Verhulst P. F. Notice sur la loi que la population suit dans son accorois-sement/ Corr. Math. et Phys. 1838. Vol. 10. P. 113–121.

4. Pearl R. The growth of populations // Quart. Rev. Biol. 1927. Vol. 2. P. 532–548.

5. Volterra V. Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi // Mem. Accad. Naz. Lincei. (Ser. 6). 1926. Vol. 2. P. 31–113.

6. Базыкин А. Д., Березовская Ф. С., Буриев Т. И. Динамика системы хищник-жертва с учетом насыщения и конкуренции // Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике : сб. науч. тр. 1980. С. 6–33.

7. Manna D., Maiti A., Samanta G. P. Analysis of a predator-prey model for exploited fish populations with schooling behavior // Applied Mathematics and Computation. Vol. 317. P. 35–48.

8. Stability and bifurcation analysis of a three-species food chain model with fear / P. Panday [et al.] // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 1.

9. Stability analysis of prey-predator system with holling type functional response and prey refuge / Z. Ma [et al.] // Advances in Difference Equations. 2017. Vol. 1.

10. On the dynamics of an intraguild predator-prey model / F. Capone [et al.] // Mathematics and Computers in Simulation. 2018.

11. Yunfeng J. Analysis on dynamics of a population model with predator-prey-dependent functional response // Applied Mathematics Letters. 2018. Vol. 80. P. 64–70.

12. Fergola P., Tenneriello C. Lotka-Volterra models: partial stability and partial ultimate boundedness // Biomath. and Related Comput. Prob. Proc. Workshop. 1988. P. 283−294.

13. Игнатьев А. О. О глобальной асимптотической устойчивости положения равновесия уравнений Лотки-Вольтерры в изменяющейся среде // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 3. С. 290–295.

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.