Скачать статью в pdf.

УДК 517.91

DOI: 10.15507/0236-2910.028.201804.486-510

 

Параметризация задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с контрастными структурами

 

Кузнецов Евгений Борисович
профессор кафедры моделирования динамических систем, ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (125993, Россия, г. Москва, Волоколамское ш., д. 4), доктор физико-математических наук, ResearcherID: S-9576-2018, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9452-6577, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Леонов Сергей Сергеевич
доцент кафедры моделирования динамических систем, ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (125993, Россия, г. Москва, Волоколамское ш., д. 4), кандидат физико-математических наук, ResearcherID: E-7641-2017, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6077-0435, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Цапко Екатерина Дмитриевна
студент кафедры моделирования динамических систем, ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (125993, Россия, г. Москва, Волоколамское ш., д. 4), ResearcherID: S-8613-2018, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4215-3510, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Введение. В статье приводятся результаты анализа численных методов решения задачи Коши для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с контрастными структурами (внутренними слоями). Подобные уравнения моделируют различные прикладные задачи гидроаэромеханики, химической кинетики, теории каталитических реакций и т. д. Получить аналитическое решение этих задач удается редко, а их численное решение сопряжено со значительными трудностями, связанными с плохой обусловленностью в окрестности пограничных и внутренних слоев. Целью статьи является анализ области применения традиционных численных методов к решению задач данного класса и апробация альтернативных методов решения.
Материалы и методы. Для численного решения задачи Коши используются традиционные явные методы Эйлера и Рунге-Кутты четвертого порядка точности, а также неявный метод Эйлера с постоянным и переменным шагом. В качестве альтернативы предложено использовать метод продолжения решения по наилучшему аргументу, который заключается в замене исходного аргумента задачи на новый, отсчитываемый вдоль интегральной кривой задачи. Переход к наилучшему аргументу позволяет получить наилучшим образом обусловленную задачу Коши.
Результаты исследования. На примере решения тестовой задачи показаны вычислительные затруднения, возникающие при решении уравнений с контрастными структурами традиционными явными и неявными методами. Они выражаются в значительном уменьшении шага интегрирования в окрестности пограничных слоев, что приводит к увеличению времени счета и усложнению процесса решения сверхжестких задач. Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением с аналитическим решением и известными работами других авторов.
Обсуждение и заключение. Результаты вычислительного эксперимента демонстрируют применимость традиционных методов решения задачи Коши к уравнениям с контрастными структурами лишь при малой жесткости, в остальных случаях данные методы малоэффективны. Показано, что метод продолжения решения по наилучшему аргументу позволяет снять большинство недостатков, присущих непреобразованной задаче. Это отражается в снижении времени счета и увеличении точности полученного решения.

Ключевые слова: контрастные структуры, метод продолжения решения, наилучший аргумент, плохая обусловленность, задача Коши, обыкновенное дифференциальное уравнение

Для цитирования: Кузнецов Е. Б., Леонов С. С., Цапко Е. Д. Параметризация задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с контрастными структурами // Вестник Мордовского университета. 2018. Т. 28, № 4. С. 486–510. DOI: https://doi.org/10.15507/0236-2910.028.201804.486-510

Благодарности: Исследование проведено при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта 18-19-00474).

Заявленный вклад соавторов: Е. Б. Кузнецов − проведение теоретических исследований по методу продолжения решения по параметру, формулирование основной концепции исследования, доработка текста; С. С. Леонов − обзор и анализ литературы, разработка вычислительных алгоритмов метода продолжения решения по наилучшему аргументу, формулировка выводов, редактирование текста; Е. Д. Цапко − разработка программного комплекса и проведение численных экспериментов, подготовка первоначального варианта рукописи, верстка текста.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Поступила 05.07.2018; принята к публикации 03.09.2018;
опубликована онлайн 28.12.2018

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матемематический сборник. 1948. Т. 22 (64), № 2.
С. 193–204.

2. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4, № 3. С. 799–851.

3. Belov A. A., Kalitkin N. N. Features of calculating contrast structures in the Cauchy problem // Mathematical Models and Computer Simulations. 2017. Vol. 9, Issue 3. P. 281–291.

4. Belov A. A., Kalitkin N. N. Curvature-based grid step selection for stiff Cauchy problems problems // Mathematical Models and Computer Simulations. 2017. Vol. 9, Issue 3. P. 305–317.

5. Белов А. А., Калиткин Н. Н. Численные методы решения задач Коши с контрастными структурами // Моделирование и анализ информационных систем. 2016. Т. 23, № 5. С. 529–538.

6. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матемематический сборник. 1950. Т. 27 (69), № 1. С. 147–156.

7. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матемематический сборник. 1952. Т. 31 (73), № 3. С. 575–586.

8. Butuzov V. F., Vasileva A. B., Nefedov N. N. Asymptotic theory of contrast structures (review) // Automatics and Remote Control. 1997. Vol. 58, Issue 7. P. 1068–1091.

9. Butuzov V. F., Levashova N. T., Melnikova A. A. A steplike contrast structure in a singularly perturbed system of elliptic equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics Journal. 2013; 53(9):1239–1259.

10. Бутузов В. Ф., Денисов И. В. Угловой пограничный слой в нелинейных эллиптических задачах, содержащих производные первого порядка // Моделирование и анализ информационных систем. 2014. Т. 21, № 1. С. 7–31.

11. Бутузов В. Ф., Белошапко В. А. Сингулярно возмущенная эллиптическая задача Дирихле с кратным корнем вырожденного уравнения // Моделирование и анализ информационных систем. 2016. Т. 23, № 5. С. 515–528.

12. Butuzov V. F., Bychkov A. I. Asymptotics of the solution of the initial boundary value problem for a singularly perturbed parabolic equation in the case of a triple root of the degenerate equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics Journal. 2016. Vol. 56, Issue 4. P. 593–611.

13. Бутузов В. Ф. О контрастных структурах с многозонным внутренним слоем // Моделирование и анализ информационных систем. 2017. Т. 24, № 3. С. 288–308.

14. Козлов М. В., Щенников В. Н. Асимптотическая устойчивость однородных сингулярных систем // Вестник Мордовского университета. 2017. Т. 27, № 4. С. 546–554.

15. Нефедов Н. Н., Никулин Е. И. Существование и асимптотическая устойчивость периодического решения с внутренним переходным слоем в задаче со слабой линейной адвекцией // Моделирование и анализ информационных систем. 2018. Т. 25, № 1. С. 125–132.

16. Антипов Е. А., Левашова Н. Т., Нефедов Н. Н. Асимптотическое приближение решения уравнения реакция-диффузия-адвекция с нелинейным адвективным слагаемым // Моделирование и анализ информационных систем. 2018. Т. 25, № 1. С. 18–32.

17. Давыдова М. А., Нефедов Н. Н. Существование и устойчивость контрастных структур в многомерных задачах реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной нелинейности // Моделирование и анализ информационных систем. 2017. Т. 24, № 1. С. 31–38.

18. . Antipov E. A., Levashova N. T., Nefedov N. N. Asymptotics of the front motion in the reac¬tion-diffusion-advection problem // Computational Mathematics and Mathematical Physics Journal. 2014. Vol. 54, Issue 10. P. 1536–1549.

19. Нефедов Н. Н. Общая схема асимптотического исследования устойчивых контрастных структур // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, № 1. С. 181–186.

20. Efstathiou C., Luhar M. Mean turbulence statistics in boundary layers over high-porosity foams // Journal of Fluid Mechanics. 2018. Vol. 841. P. 351–379.

21. Comparison of turbulent boundary layers over smooth and rough surfaces up to high Reynolds numbers / D. T. Squire [et al.] // Journal of Fluid Mechanics. 2016. Vol. 795. P. 210–240.

22. Swaters G. E. Internal dissipative boundary layers in the cross-equatorial flow of a grounded deep western boundary current / Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 2017. Vol. 111, no. 2. P. 91–114.

23. Kumar D. A parameter-uniform method for singularly perturbed turning point problems exhibiting interior or twin boundary layers // International Journal of Computer Mathematics. 2018. P. 1–18.

24. Xu H., Jin Y. L. The contrast structures for a class of singularly perturbed systems with heteroclinic orbits // Discrete Dynamics in Nature and Society. 2016. Article ID 6405853.

25. Belov A. A., Kalitkin N. N., Kuzmina L. V. Modeling of chemical kinetics in gases // Mathematical Models and Computer Simulations. 2017. Vol. 9, Issue 1. P. 24–39.

26. Lahaye M. E. Une metode de resolution d'une categorie d'equations transcendentes // Comptes rendus hebdomadaires des seances de L'Academie des sciences. 1934. Vol. 198, no. 21. P. 1840–1842.

27. Lahaye M. E. Solution of system of transcendental equations // Académie royale de Belgique. Bulletin de la Classe des sciences. 1948. Vol. 5. P. 805–822.

28. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // Доклады Академии наук СССР. 1953. Т. 88, № 4. С. 601–602.

29. Давиденко Д. Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Украинский математический журнал. 1953. Т. 5, № 2. С. 196–206.

30. Ворович И. И., Зипалова В. Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29, вып. 5. С. 894–901.

31. Riks E. The application of Newton’s method to the problem of elastic stability // Journal of Applied Mechanics. 1972; Vol. 39, Issue 4. P. 1060–1065.

32. Kuznetsov E. B., Leonov S. S. Parametrization of the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations with limiting singular points // Computational Mathematics and Mathematical Physics Journal. 2017. Vol. 57, Issue 6. P. 931–952.

33. Кузнецов Е. Б., Леонов С. С. Примеры параметризации задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с предельными особыми точками // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2018. Т. 58, № 6. С. 914–933.

34. Semenov A. A. Strength and stability of geometrically nonlinear orthotropic shell structures // Thin-Walled Structures. 2016. Vol. 106. P. 428–436.

35. May S., Vignollet J., de Borst R. A new arc-length control method based on the rates of the internal and the dissipated energy // Engineering Computations. 2016. Vol. 33, Issue 1. P. 100–115.

36. A local pseudo arc-length method for hyperbolic conservation laws / X.Wang [et al.] // Acta Mechanica Sinica. 2015. Vol. 30, no. 6. P. 956–965.

37. Kalitkin N. N., Poshivaylo I. P. Computations with inverse Runge-Kutta schemes // Mathematical Models and Computer Simulations. 2014. Vol. 6, Issue 3. P. 272–285.

38. Rosenbrock H. H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations // The Computer Journal. 1963. Vol. 5, no. 4. P. 329–330.

 

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.