Инженерные технологии и системы

Печать

УДК 517.91

DOI: 10.15507/0236-2910.028.201803.344-351

Устойчивость относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях «частичного» положения равновесия нелинейных систем дифференциальных уравнений

Липасов Павел Петрович
магистр кафедры фундаментальной информатики и информационных технологий, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), ResearcherID: N-7266-2018, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9524-7353, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Щенников Владимир Николаевич
профессор кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68/1), доктор физико-математических наук, ResearcherID: Q-3912-2018, ORCID: http://orcid.org/0000-0001-5230-3482, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Введение. В процессе математического моделирования динамических процессов не удается учесть все действующие в них силы. Чтобы математическая модель наиболее точно описывала динамические процессы, в них включают слагаемые, соответствующие постоянно действующим возмущениям. Подобные меры необходимы, например, при решении прикладных задач. В данной статье рассматривается случай, когда система допускает «частичное» положение равновесия. Целью работы является доказательство теоремы об устойчивости «частичного» положения равновесия при постоянно действующих возмущениях, малых в каждый момент времени.
Материалы и методы. Объектами исследования являются нелинейные системы дифференциальных уравнений, допускающие «частичное» положение равновесия. Теоремы об устойчивости при постоянно действующих возмущениях «частичного» положения равновесия, малых в каждый момент времени, доказываются с использованием второго метода Ляпунова.
Результаты исследования. С введением устойчивости относительно части переменных появилась потребность введения устойчивости при постоянно действующих возмущениях относительно части фазовых переменных. Первые теоремы об устойчивости при постоянно действующих возмущениях относительно части фазовых переменных были получены А. С. Озиранером. Следует отметить, что в настоящее время не сформулировано теорем об устойчивости при постоянно действующих возмущениях «частичного» положения равновесия, что свидетельствует об актуальности данной статьи.
Обсуждение и заключения. Доказанная в работе теорема 3 является развитием математической теории устойчивости. Полученные результаты применимы в механике управляемого движения.

Ключевые слова: постоянно действующее возмущение, устойчивость при постоянно действующих возмущениях, «частичное» положение равновесия, дифференциальное уравнение, нелинейная система

Для цитирования: Липасов П. П., Щенников В. Н. Устойчивость относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях «частичного» положения равновесия нелинейных систем дифференциальных уравнений // Вестник Мордовского университета. 2018. Т. 28, № 3. С. 344‒351. DOI: https://doi.org/10.15507/0236-2910.028.201803.344-351

Заявленный вклад соавторов: П. П. Липасов – доказательство теоремы; В. Н. Щенников – постановка задачи, определение методов исследования.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Поступила 18.04.2018; принята к публикации 07.06.2018; опубликована онлайн 20.09.2018

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Дубошин Г. Н. К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений // Тр. Гос. астроном. ин-та им. Штернберга. 1940. № 114. С. 156–164.

2. Малкин И. Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Прикладная математика и механика. 1944. Т. VIII, № 3. С. 241–245.

3. Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом при постоянно действующих возмущениях // Прикладная математика и механика. 1954. № 18. С. 95–102.

4. Тихонов А. А. Об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях // Вестник Ленинградского университета. 1965. № 1. С. 95–101.

5. Горшин С. И. Второй метод Ляпунова и применение к устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Второй метод Ляпунова и его применение в энергетике : тр. семинара- симпозиума. 1956. Ч. 1. С. 5–34.

6. Strauss A., Yorke A. J. Identifying perturbations which preserved asymptotic stability // Bull. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 22, № 2. P. 513–518.

7. Corduneanu C. Sur la stabilite partielle // Rev. Roumaine math. Pures. Appl. 1964. Vol. 9, № 3. P. 229–236.

8. Воротников В. И. Два класса задач частичной устойчивости: к унификации понятий и единым условиям разрешимости // Доклады РАН. 2002. Т. 384, № 1. С. 47–51.

9. Воротников В. И. Об устойчивости и устойчивости по части переменных частичных положений равновесия нелинейных динамических систем // Доклады РАН. 2003. Т. 389, № 3. С. 332–337.

10. Габасов Р. Об устойчивости решения дифференциально-операторных уравнений при постоянно действующих возмущениях // Известия вузов. Математика. 1962. Т. 30, № 5. С. 29–38.

11. Гермаидзе В. Е., Красовский Н. Н. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 21, вып. 6. С. 769–775.

12. Горшин С. И. О некоторых критериях устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Известия вузов. Математика. 1967. № 11. С. 17–20.

13. Савченко А. Я. Об устойчивости движений консервативных механических систем при постоянно действующих возмущениях. Прикладная математика и механика. 1974. Т. 38, № 2. С. 240–245.

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.