Инженерные технологии и системы - 10. Применение метода Галеркина с разрывными базисными функциями к исследованию динамики изменения температуры и давления в пласте с нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва / Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, Е. Е. Пескова, В. Ф. Тишкин

УДК 519.85:622.276.42

DOI: 10.15507/2658-4123.031.202101.161-174

Применение метода Галеркина с разрывными базисными функциями к исследованию динамики изменения температуры и давления в пласте с нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва

Жалнин Руслан Викторович
ведущий научный сотрудник, заведующий кафедрой прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Российская Федерация, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат физико-математических наук, доцент, Researcher ID: Q-6945-2016, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1103-3321, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Масягин Виктор Федорович
старший научный сотрудник, доцент кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Российская Федерация, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат физико-математических наук, Researcher ID: C-2439-2013, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6738-8183, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Пескова Елизавета Евгеньевна
младший научный сотрудник, доцент кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Российская Федерация, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат физико-математических наук, Researcher ID: U-7971-2019, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2618-1674, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Тишкин Владимир Федорович
заведующий отделом ИПМ им. М. В. Келдыша РАН (125047, Российская Федерация, г. Москва, Миусская пл., д. 4), член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, Researcher ID: R-5820-2016, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7295-7002, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Введение. В данной работе численно моделируется задача распространения температуры в нефтеносном пласте с трещиной гидроразрыва, в который закачивается охлаждающая жидкость посредством вертикальной нагнетательной скважины.
Материалы и методы. Для описания процесса распространения температуры в пласте под действием нагнетаемой в него жидкости используется уравнение конвективного теплообмена Фурье – Кирхгофа. Для решения этого уравнения применяется метод Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных неструктурированных сетках. Для описания процесса изменения давления в пласте под действием работы нагнетательной скважины применяется уравнение, полученное на основе уравнения неразрывности и закона Дарси. Для его решения используется метод Галеркина с разрывными базисными функциями на неструктурированной треугольной сетке. Для распараллеливания численного алгоритма применяется библиотека MPI.
Результаты исследования. В статье представлен численный алгоритм и результаты моделирования динамики полей температуры и давления в нефтеносном пласте с трещиной гидроразрыва, в который посредством вертикальной нагнетательной скважины закачивается охлаждающая жидкость.
Обсуждение и заключение. Реализована численная методика на основе разрывного метода Галеркина для математического моделирования температурного поля и поля давления в нефтеносном пласте с трещиной гидроразрыва и нагнетательной скважиной. Полученные картины для распределения температуры и давления в пласте адекватны и хорошо согласуются с заданными начально-краевыми условиями. Дальнейшая работа в данном направлении предполагает моделирование на тетраэдральных неструктурированных сетках для более точного исследования протекающих процессов.

Ключевые слова: разрывный метод Галеркина, вертикальная нагнетательная скважина, гидравлический разрыв пласта, уравнение конвективного теплообмена, уравнение неразрывности, закон Дарси, неструктурированные сетки, разнесенные сетки, MPI

Финансирование: исследование выполнено при поддержке ФГБУ «Российский фонд фундаментальных исследований» (проекты № 18-41-130001, № 18-31-00102) и гранта Президента РФ для молодых российских ученых – кандидатов наук (МК-2007.2018.1).

Конфликт интересов: авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Благодарности: авторы выражают признательность анонимным рецензентам.

Для цитирования: Применение метода Галеркина с разрывными базисными функциями к исследованию динамики изменения температуры и давления в пласте с нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва / Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, Е. Е. Пескова, В. Ф. Тишкин. – DOI 10.15507/2658-4123.031.202101.161-174 // Инженерные технологии и системы. – 2021. – Т. 31, № 1. – С. 161–174.

Заявленный вклад соавторов:
Р. В. Жалнин – обсуждение численного алгоритма в части аппроксимации конвективных слагаемых в уравнении переноса тепла.
В. Ф. Масягин – реализация основного параллельного численного алгоритма на основе метода Галеркина с разрывными базисными функциями, активное участие в разработке математической модели и в обсуждении выбора начально-краевых условий для расчетной задачи, проведение численных расчетов.
Е. Е. Пескова – обзор литературы по отечественным и зарубежным источникам, участие в разработке математической модели исследуемого процесса.
В. Ф. Тишкин – постановка задачи и общее руководство работой.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Поступила 09.10.2020; одобрена после рецензирования 10.12.2020;
принята к публикации 20.12.2020

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Применение разрывного метода Галеркина для моделирования температурного поля в вертикальной скважине с трещиной гидроразрыва / В. Ф. Масягин, Ю. О. Бобренева, И. М. Губайдуллин, Р. В. Жалнин // Системы управления и информационные технологии. – 2016. – № 1 (63). – С. 13–16. – URL: http://www.sbook.ru/suit/CONTENTS/160100.pdf (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

2. Sudirham, J. J. Space-Time Discontinuous Galerkin Method for Advection–Diffusion Problems on Time-Dependent Domains / J. J. Sudirham, J. J. W. Vegt, R. M. J. Damme. – DOI 10.1016/j.apnum.2005.11.003 // Applied Numerical Mathematics. – 2006. – Vol. 56, Issue 12. – Pp. 1491–1518. – URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168927405002151?via%3Dihub (дата обращения: 12.02.2021).

3. Oikawa, I. Hybridized Discontinuous Galerkin Method for Convection–Diffusion Problems / I. Oikawa. – DOI 10.1007/s13160-014-0137-5 // Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. – 2014. – Vol. 31, Issue 2. – Pp. 335–354. – URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s13160-014-0137-5 (дата обращения: 12.02.2021).

4. Local Discontinuous Galerkin Methods with Implicit-Explicit Time-Marching for Multi- Dimensional Convection-Diffusion Problems / H. Wang, S. Wang, Q. Zhang, C.-W. Shu. – DOI 10.1051/m2an/2015068 // ESAIM: M2AN. – 2016. – Vol. 50, No. 4. – Pp. 1083–1105. – URL: https://www.esaimm2an.org/articles/m2an/abs/2016/04/m2an150054/m2an150054.html (дата обращения: 12.02.2021).

5. Cockburn, B. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn. – DOI 10.1007/BFb0096353 // Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations. Lecture Notes in Mathematics ; A. Quarteroni, ed. – Berlin : Springer, 1998. – Vol. 1697. – Pp. 150–268. – URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007%2FBFb0096353 (дата обращения: 12.02.2021).

6. Cockburn, B. The Development of Discontinuous Galerkin Methods / B. Cockburn, G. E. Karniadakis, C.-W. Shu. – DOI 10.1007/978-3-642-59721-3_1 // Discontinuous Galerkin Methods. Lecture Notes in Computational Science and Engineering ; B. Cockburn, G. E. Karniadakis, C.-W. Shu (eds.). – Berlin : Springer, 2000. – Vol. 11. – Pp. 3–50. – URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-59721-3_1#citeas (дата обращения: 12.02.2021).

7. Cockburn, B. Runge–Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn, C.-W. Shu. – DOI 10.1023/A:1012873910884 // Journal of Scientific Computing. – 2001. – Vol. 16, Issue 3. – Pp. 173–261. – URL: https://link.springer.com/article/10.1023%2FA%3A1012873910884#citeas (дата обращения: 12.02.2021).

8. Ladonkina, M. E. Application of the RKDG Method for Gas Dynamics Problems / M. E. Ladonkina, O. A. Neklyudova, V. F. Tishkin. – DOI 10.1134/S207004821404005X // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2014. – Vol. 6. – Pp. 397–407. – URL: https://link.springer.com/article/10.1134%2FS207004821404005X#citeas (дата обращения: 12.02.2021).

9. Ладонкина, М. Е. Использование усреднений для сглаживания решений в разрывном методе Галеркина / М. Е. Ладонкина, О. А. Неклюдова, В. Ф. Тишкин. – DOI 10.20948/prepr-2017-89 // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша. – 2017. – № 89. – 32 с. – URL: https://keldysh.ru/papers/2017/prep2017_89.pdf (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

10. Ladonkina, M. E. Impact of Different Limiting Functions on the Order of Solution Obtained by RKDG / M. E. Ladonkina, O. A. Neklyudova, V. F. Tishkin. – DOI 10.1134/S2070048213040091 // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2013. – Vol. 5 – Pp. 346–349. – URL: https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048213040091 (дата обращения: 12.02.2021).

11. Krivodonova, L. Limiters for High-Order Discontinuous Galerkin Methods / L. Krivodonova. – DOI 10.1016/j.jcp.2007.05.011 // Journal of Computational Physics. – 2007. – Vol. 226, Issue 1. – Pp. 879–896. – URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999107002136?via%3Dihub (дата обращения: 12.02.2021).

12. Zhao, L. A Priori and a Posteriori Error Analysis of a Staggered Discontinuous Galerkin Method for Convection Dominant Diffusion Equations / L. Zhao, E.-J. Park. – DOI 10.1016/j.cam.2018.06.040 // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2018. – Vol. 346. – Pp. 63–83. – URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042718303923?via%3Dihub (дата обращения: 12.02.2021).

13. Du, J. An Adaptive Staggered Discontinuous Galerkin Method for the Steady State Convection–Diffusion Equation / J. Du, E. Chung. – DOI 10.1007/s10915-018-0695-9 // Journal of Scientific Computing. – 2018. – Vol. 77. – Pp. 1490–1518. – URL: https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10915-018-0695-9#article-info (дата обращения: 12.02.2021).

14. Tavelli, M. A Pressure-Based Semi-Implicit Space–Time Discontinuous Galerkin Method on Staggered Unstructured Meshes for the Solution of the Compressible Navier – Stokes Equations at All Mach Numbers / M. Tavelli, M. Dumbser. – DOI 10.1016/j.jcp.2017.03.030 // Journal of Computational Physics. – 2017. – Vol. 341. – Pp. 341–376. – URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999117302255?via%3Dihub (дата обращения: 12.02.2021).

15. Chung, E. T. A Sub-Grid Structure Enhanced Discontinuous Galerkin Method for Multiscale Diffusion and Convection-Diffusion Problems / E. T. Chung, W. T. Leung. – DOI 10.4208/cicp.071211.070912a // Communications in Computational Physics. – 2013. – Vol. 14, Issue 2. – Pp. 370–392. – URL: https://clck.ru/TFW77 (дата обращения: 12.02.2021).

16. Решение трехмерных уравнений теплопроводности с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин. – DOI 10.14498/vsgtu1351 // Вестник СамГТУ. Серия: Физико-математические науки. – 2015. – Т. 19, № 3. – С. 523–533. – URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vsgtu &paperid=1351&option_lang=rus (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

17. Применение разрывного метода Галеркина для решения параболических задач в анизотропных средах на треугольных сетках / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин. – DOI 10.14529/mmp160313 // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». – 2016. – Т. 9, № 3. – С. 144–151. – URL: https://mmp.susu.ru/pdf/v9n3st13.pdf (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

18. Решение задач о нестационарной фильтрации вещества с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин. – DOI 10.7868/S0044466916060247 // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2016. – Т. 56, № 6. – С. 989–998. – URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?doi=10.7868/S0044466916060247 (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

19. Применение разрывного метода Галеркина для решения обратной задачи диффузии лекарственных веществ из хитозановых пленок / И. М. Губайдуллин, Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин [и др.] // Журнал Средневолжского математического общества. – 2016. – Т. 18, № 2. – С. 94–105. – URL: http://journal.svmo.ru/archive/article?id=1420 (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

20. Васильев, В. И. Решение задач однофазной фильтрации методом конечных элементов на вычислительном кластере / В. И. Васильев, М. В. Васильева, Д. Я. Никифоров // Вестник Северо-Восточного федерального университета им. М. К. Аммосова. – 2016. – № 6. – С. 8–17. – URL: https://clck.ru/TFXvw (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

21. Unified Analysis of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems / D. N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L. D. Marini. – DOI 10.1137/S0036142901384162 // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 2002. – Vol. 39, Issue 5. – Pp. 1749–1779. – URL: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036142901384162 (дата обращения: 12.02.2021).

22. Li, В. Q. Discontinuous Finite Elements in Fluid Dynamics and Heat Transfer / В. Q. Li. – DOI 10.1007/1-84628-205-5 // London : Springer, 2006. – 578 p. – URL: https://link.springer.com/book/10.1007/1-84628-205-5#authorsandaffiliationsbook (дата обращения: 12.02.2021).

23. Жалнин, Р. В. Построение параллельного вычислительного алгоритма на основе разрывного метода Галеркина для решения задач конвективного теплообмена на разнесенных неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, Е. Е. Пескова. – DOI 10.15507/2079-6900.20.201804.448-459 // Журнал Средневолжского математического общества. – 2018. – Т. 20, № 4. – С. 448–459. – URL: http://journal.svmo.ru/archive/article?id=1636 (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.