Скачать статью в pdf.

 УДК 534.112

DOI: 10.15507/0236-2910.028.201804.472-485

 

О задаче гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны

 

Муравей Леонид Андреевич
профессор кафедры компьютерной математики, ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (121552, Россия, г. Москва, ул. Оршанская, д. 3), доктор физико-математических наук, ResearcherID: U-2857-2018, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-5432-8843, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Петров Виктор Михайлович
доцент кафедры компьютерной математики, ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (121552, Россия, г. Москва, ул. Оршанская, д. 3), кандидат физико-математических наук, ResearcherID: U-2845-2018, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3382-7496, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Романенков Александр Михайлович
доцент кафедры компьютерной математики, ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» (121552, Россия, г. Москва, ул. Оршанская, д. 3), кандидат технических наук, ResearcherID: T-3538-2018, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-0700-8465, Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Введение. Рассматриваемая задача гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны актуальна для производственных процессов, связанных с продольным движением материалов (например, бумажного полотна). Для данных процессов крайне нежелательными являются поперечные возмущения, которые в вертикальном сечении описываются гиперболическим уравнением продольно движущейся струны. Вследствие этого возникает задача гашения колебаний за конечное время.
Материалы и методы. Для решения задачи гашения колебаний в статье производится ее сведение к тригонометрической проблеме моментов на произвольном временном отрезке. При рассмотрении движущихся материалов построение базисных систем, образующих проблему моментов, является отдельной задачей, поскольку гиперболическое уравнение содержит смешанную производную (кориолисово ускорение). По этой причине в данном случае неприменим классический метод разделения переменных. Вместо него был использован новый метод нахождения автомодельных решений нестационарных уравнений, что позволяет найти базисные системы в явном виде.
Результаты исследования. В случае с бумажным полотном находится минимальный во всем классе допустимых возмущений временной отрезок, на котором образующая проблему моментов тригонометрическая система является базисом Рисса. Это позволяет с использованием сопряженной ей системы найти соответствующее минимальному времени гашения колебаний оптимальное управление (в виде ряда) и, таким образом, построить так называемый оптимальный демпфер.
Обсуждение и заключение. В результате исследования было построено обобщенное решение задачи гашения поперечных колебаний. Получено точное время гашения, а именно такое время T₀, при котором полная энергия системы равна нулю. Найдено оптимальное управление в виде ряда Фурье.

Ключевые слова: гашение колебаний, гиперболическое уравнение, кориолисово ускорение, тригонометрическая проблема моментов, базис Рисса

Для цитирования: Муравей Л. А., Петров В. М., Романенков А. М. О задаче гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны // Вестник Мордовского университета. 2018. Т. 28, № 4. С. 472–485. DOI: https://doi.org/10.15507/0236-2910.028.201804.472-485

Благодарности: Исследование проведено в рамках гранта РФФИ № 16-01-00425 А.

Заявленный вклад соавторов: Л. А. Муравей – постановка проблемы, разработка методики и анализ методологической базы исследования, обзор литературы, доказательство базисности Рисса для тригонометрической системы специального вида; В. М. Петров – получение ограничения на скорость в движущемся материале, постановка экстремальной задачи и выведение представления минимизируемого функционала; А. М. Романенков – получение оценки на оптимальное управление.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Поступила 19.06.2018; принята к публикации 15.08.2018;
опубликована онлайн 28.12.2018

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Lagnesе J. Control of wave process with distributed controls supported on a subregion // SIAM Journal of Control and Optimization. 1983. Vol. 21, Issue 1.
P. 68–85.

2. Archibald F. R., Emslie A. G. The vibration of a string having a uniform motion along its length // Journal of Applied Mechanics. 1958. Vol. 25, Issue 1. P. 347–348.

3. Lions J. L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Review. 1988. Vol. 30, Issue 1. P. 1–68.

4. Levinson N. Gap and density theorem // Colloquium Publications. 1940. Vol. 26. 246 p.

5. Mahalingam S. Transverse vibrations of power transmission chains // British Journal of Applied Physics. 1957. Vol. 8, no. 4. P. 145–148.

6. Sack R. A. Transverse oscillations in traveling strings // British Journal of Applied Physics. 1954. Vol. 5, no. 6. P. 224–226.

7. Mechanics of moving materials / N. Banichuk [et al.]. Switzerland : Springer, 2014. 207 p.

8. Билалов Б. Т. О базисности системы {e^{iα nx}sin(nx)} экспонент со сдвигом // Доклады Академии наук. 1995. Т. 345, № 2. С. 644–647.

9. Russell D. L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions // SIAM Review. 1978. Vol. 20, no. 4. P. 639–739.

10. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами монография. М. : Наука, 1975. 568 с.

11. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А.Аналитические и численные методы в задаче гашения колебаний струны точечным демпфером // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 7. С. 28–35.

12. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. О гашении колебаний круглой мембраны с помощью кольцевого демпфера // Труды ИСА РАН. 2007. Т. 29 (1), № 11. С. 54–59.

13. Михайлов В. П.Дифференциальные уравнения в частных производных : монография. М. : Наука, 1983. 424 с.

14. Атамуратов A. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. Проблема моментов в задачах управления упругими динамическими системами // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. Т. 17, № 9. С. 587–598

15. Муравей Л. А., Романенков А. М., Петров В. М.Оптимальное управление нелинейными процессами в задачах математической физики : монография. М. : Изд-во МАИ, 2018. 159 с.

16. Il’in V. A., Moiseev E. I. Optimization of the boundary control by shift or elastic force at one end of string in a sufficiently long arbitrary time // Automation and Remote Control. 2008. Vol. 69, Issue 3. P. 354–362.

17. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Граничное управление колебаниями струны, минимизирующее интеграл от степени p ≥ 1 модуля управления или его производной // Автоматика и телемеханика. 2007. Т. 68, № 2. С. 313–319.

18. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи математических наук. 2005. Т. 60, вып. 6.
С. 89–114.

19. Malookani R. A., van Horssen W. T. On the vibrations of an axially moving string with a time-dependent velocity// Proceedings of the ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. ASME, 2015. Vol. 4B: Dynamics, Vibration, and Control. P. V04BT04A061.

20. Муравей Л. А. Задача управления границей для эллиптических уравнений // Вестник МГУ (Сер. 15 «Вычислительная математика и кибернетика»). 1998. № 3. С. 7–13.

21. Гурченков А. А., Муравей Л. А., Романенков А. М. Моделирование и оптимизация технологического процесса ионно-лучевого травления // Инженерный журнал: наука и инновации. 2014. № 2 (26).

 

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.